Bloggy Web Science : Persamaan Differensial Biasa (PDB)

Definisi

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi satu peubah. Solusi dari PDB adalah fungsi tertentu yang memenuhi persamaan tersebut.

Berikut beberapa contoh PDB :

Dengan c adalah sembarang konstanta yang tidak diketahui. Sehingga solusi PDB di atas disebut juga solusi umum. Solusi khusus bisa diperoleh bila ada lagi sebuah persamaan yang merupakan syarat batasnya.

Secara umum, dapat ditulis:

sehingga diperoleh

Walaupun ada banyak metode Untuk mencari solusi analitik dari persamaan Diferensial Biasa (PDB), tetapi pada umumnya terbatas pada PDB yang spesiﬁk. Pada kenyataan-nya banyak PDB yang tidak dapat dicari solusi analitiknya tetapi solusi numeriknya dapat diperoleh. Walaupun solusi analitik dapat diperoleh tetapi rumit, biasanya lebih dipilih solusi numeriknya.

PDB dan PDS

Persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam tergantung pada jumlah variabel bebas. Apabila persamaan tersebut mengandung hanya satu variabel bebas, persamaan disebut dengan persamaan diferensial parsial (PDP) atau biasa disebut PDS (persamaan differensial sebagian). Derajat (order) dari persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi dari turunannya.

Contoh PDB dan PDS

PDB berorder satu, karena turunan tertingginya adalah turunan pertama.

PDB berorder dua mengandung turunan kedua sebagai turunan tertingginya, seperti bentuk di bawah ini:

Contoh persamaan diferensial parsial dengan variabel bebas x dan t adalah:

Misalkan suatu persamaan diferensial biasa berorder satu, sebagai berikut:

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah:

yang memberikan banyak fungsi untuk berbagai nilai koefisien C. Gambar 8.1, menunjukkan beberapa kemungkinan dari penyelesaian persamaan (8.2), yang tergantung pada nilai C.
Untuk mendapatkan penyelesaian tunggal diperlukan informasi tambahan, misalnya nilai y(x) dan atau turunannya pada nilai x tertentu. Untuk persamaan order n biasanya diperlukan n kondisi untuk mendapatkan penyelesaian tunggal y(x)
Apabila semua n kondisi diberikan pada nilai x yang sama (misalnya x0), maka permasalahan disebut dengan problem nilai awal. Apabila dilibatkan lebih dari satu nilai x, permasalahan disebut dengan problem nilai batas. Misalnya persamaan (8.1), disertai kondisi awal yaitu x = 0, nilai y = 1 atau:

Substitusikan persamaan (8.3) ke dalam persamaan (8.2) memberikan:

Dengan demikian penyelesaian tunggal yang memenuhi persamaan:

Penyelesaian persamaan (8.1) dan persamaan (8.3) adalah mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Persamaan diferensial memberikan kemiringan kurva pada setiap titik sebagai fungsi x dan y. Hitungan dimulai dari nilai awal yang diketahui, misalnya di titik (x₀, y₀).

Kemudian dihitung kemiringan kurve (garis singgung) di titik tersebut. Berdasar nilai y₀ di titik x₀ dan kemiringan fungsi di titik-titik tersebut dapat dihitung nilai y₁ di titik x₁ yang berjarak Δx dari x₀. Selanjutnya titik (x₁, y₁) yang telah diperoleh tersebut digunakan untuk menghitung nilai y₂ di titik x₂ yang berjarak Δx dari x₁.
Prosedur hitungan tersebut diulangi lagi untuk mendapatkan nilai y selanjutnya, seperti pada Gambar 8.2.

Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode Taylor

Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor: Metode ini pada dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan beberapa suku deret Taylor. Misalkan solusi dari persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor:

•
Bila hanya sampai suku dibawah ini pada Deret Taylor, maka dinamakan metode Deret Taylor orde-n .

Metode Deret Taylor orde-1 disebut metode Euler. Untuk mencari solusi numerik dari PDB:

sepanjang selang [a, b ], dua suku pertama pada deret Taylor yaitu:

Sehingga dapat ditulis

yang dapat digunakan mulai t = a sampai ke t = b dengan n -langkah yang panjang langkahnya h = (b − a) /n .

• Contoh: Tentukan x (2) dengan menggunakan Metode Euler (n = 4) untuk persamaan diferensial

bila diketahui syarat awal x (1) = − 4

Penyelesaian

Untuk memperoleh hampiran yang lebih akurat, dapat digunakan Metode Deret Taylor orde yang lebih tinggi. Perhatikan persamaan diferensial berikut ini:

Bila PD tersebut diturunkan beberapa kali terhadap t , diperoleh:

sehingga dapat diperoleh:

Selesaikan persamaan di bawah ini:

Dari x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah Dx = 0,5 dan Δx = 0,25.

Contoh Metode Euler

A. Penyelesaian:

Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah:

Penyelesaian numerik dilakukan secara bertahap pada beberapa titik yang berurutan. Dengan menggunakan persamaan (8.6), dihitung nilai yi + 1 yang berjarak Δsx = 0,5 dari titik awal yaitu x = 0. Untuk i = 0 maka persamaan (8.6), menjadi:

B. Penyelesaian:

Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y(0)= 1, sehingga:

Kemiringan garis di titik (x₀ ; y₀) adalah:

sehingga:

C. Penyelesaian:

Nilai eksak pada titik x = 0,5 adalah:

Jadi kesalahan dengan metode Euler adalah:

2.5 RUNGE-KUTTA

Penggunaan metode Taylor memerlukan penurunan fungsi f (t, y ) secara analitik. Berikut akan diperkenalkan metode untuk menghasilkan y i dengan akurasi yang sama seperti metode Taylor tanpa melakukan penurunan terhadap fungsi f (t, y ). Metode yang paling sederhana adalah metod Runge Kutta orde 2 .

Runge Kutta Orde 2

Perhatikan deret Taylor untuk y (t + h ) sebagai berikut: